Matematika Peluang: Matematika Peluang

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA

BAB PELUANG

Disusun Oleh:

INDAH MJ

XI IPA 1

MADRASAH ALIYAH NEGERI MOJOSARI

TAHUN AJAR 2013/2014

A. Kombinasi
1. Dalam babak penyisihan turnamen, sejumlah 25 pencatur akan bertanding satu kali. Maka banyaknya pertandingan yang terjadi adalah.....
Jawab : Dalam menyelesaikan soal ini, karena terdapat 25 pencatur yang saling berhadapan maka setiap pasang ada 2 orang, selain itu pencatur boleh acak maka kita selesaikan dengan 5C2= 5!/2!(3!) = 300 pertandingan

2. Tujuh siswa kelas III dan kelas II akan membentuk suatu tim delegasi. Tim delegasi tersebut terdiri dari 5 orang. Jika setiap kelas akan diwakili oleh 2 orang, maka berapakah cara membentuk delegasi ?

      Jawab : Kemungkinan membentuk anggota delegasi = (2 siswa   kelas III dan 3 siswa kelas II atau 3 siswa kelas III dan 2 siswa kelas II maka banyak cara=
                 ( 7C2 . 7C3 )+ (7C3.7C2)= 21(35) + 35(21)= 1470 cara.

3. Dari 10 orang finalis kecantikan akan dipilih secara acak 3 terbaik, maka banyak cara pemilihan tersebut
    adalah .......
    Jawab   : Dari soal akan dipilih 3 orang dari 10 orang yang disediakan, jadi banyaknya cara memilih                           adalah 10C3= 10!/ 3!(10-3)! = 120 cara

4. Seorang murid disuruh mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang disediakan. Tetapi nomor 1- 5 wajib dikerjakan. Nah berapa pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut?

   Jawab : Berdasarkan soal, siswa tersebut wajib mengerjakan 5 soal sehingga hanya tersisa 3 soal dari soal keseluruhan jadi banyak cara mengerjakan adalah 5C3 = 5!/ 3!(5-3)!= 10 pilihan

5. Lima orang suami istri sedang pergi ke pesta pernikahan dengan menumpang 2 angkot dengan kapasitas masing-masing 6 orang. Jika setiap pasangan harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara posisi penumpang tersebut adalah............

    Jawab : Kemungkinan posisi pada 2 pasang suami istri mobil pertama kemudian 3 pasang suami- istri mobil kedua. Maka banyaknya cara ialah 5C2 + 5C3= 10+10=20 cara.
B. Permutasi
6. Jika suatu gedung mempunyai sebanyak 5 pintu masuk, maka berapa cara jika tiga orang anak akan memasuki gedung itu dengan pintu masuk berlainan ?

      Jawab : Banyaknya cara mereka masuk adalah 5P3= 5!/ (5-3)! = 60 cara.

7. Dalam suatu ruang tunggu terdapat tersedia 3 kursi, sedangkan terdapat 20 orang. Maka banyaknya cara agar bisa duduk berdampingan adalah .....
      Jawab : 20P3= 20!/(20-3)! = (20X19X18) = 6840 cara.

8. Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang dapat disusun dari angka- angka 2,3,4,5,6,7 tanpa ada angka berulang adalah sebanyak.......
     Jawab : 5P2 + 5P2 = 20 + 20 =40 cara.

9. Banyaknya susunan kata yang diperoleh dari kata "Dinding" adalah ...
      Jawab : Dari soal banyaknya unsur ada 7 sedangkan yang unsur yang sama adalah 2 D, 2 i, 2n.Banyaknya susunan kata adalah 7P(2!, 2!, 2!)= 7!/2!.2!.2!= 630 cara

10. Dari 5 orang akan dipilih menjadi 3 kandidat yaitu ketua, wakil, sekretaris. Berapa cara untuk memilih susunan kandidat?
      Jawab : 5P3= 5!/ (5-3)!= 60 cara

11. Nilai n yang memenuhi untuk nP5 = 9. (n-1)P4 ?Jadi nilai n = 9.

2. Jika (n+2)C5 = 2. (n+1)C4. Maka nilai dari 2n + 3 adalah… Penyelesaian:

Didapat nilai n = 8. Jadi nilai 2n + 3 = 2.8 + 3 = 19.

12. Buktikan mengapa 0! = 1 ?

Penyelesaian: Seperti yang kita tahu, misalnya:

4! = 4x3x2x1

6! = 6x5x4x3x2x1

1! = 1.

Dengan beberapa contoh ini dapat disimpulkan bahwa:

n! = n x (n – 1)!

Kemudian kita dapat bagi setiap sisi dengan n.

n!/n = [n x (n - 1)!]/n

n!/n = (n – 1)!

Nah kemudian coba subtitusi nilai n = 1. Maka:

n!/n = (n – 1)!

1!/1 = (1 – 1)!

1 = 0!

0! = 1 —–> terbukti.

13. Ada 9 bola.Tiap bola ditandai dengan angka yang saling berlainan yakni: mulai dari 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 dan 20. Dilakukan pengambilan 2 bola secara acak. Tentukan peluang munculnya 2 bola dengan jumlah angka yang genap?

Penyelesaian:

Jumlah sampel = 9.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Genap = 5

Ganjil = 4

2 buah angka yang dijumlahkan hasilnya GENAP, jika:

GENAP + GENAP = GENAP

GANJIL + GANJIL = GENAP.

Banyaknya cara munculnya angka GENAP + GENAP

= 5C2 = 5!/2!.3! = 10 cara.

Banyaknya cara munculnya angka GANJIL + GANJIL

= 4C2 = 4!/2!.2! = 6 cara.

Jadi, peluang munculnya 2 angka dengan jumlah genap adalah:

P = n(A)/n(S)

P = [5C2 + 4C2] / 9C2

P = [10 + 6] / 9C2

untuk 9C2 = 9!/2!.7!

= 9.8.7!/2.7!

= 72/2 = 36. Maka,

P = [10 + 6] / 9C2

P = [10 + 6]/36

P 16/36 = 4/9.

14. Terdapat 3 mata uang logam yang dilemparkan bersamaan. Tentukan besar frekuensi harapan peluang munculnya sisi muka lebih dari satu pada 64 percobaan pelemparan?

Penyelesaian:

Mis: S = sisi muka uang logam

B = sisi belakang uang logam.

Banyaknya kejadian/sampel yang muncul saat terjadi pelemparan 3 mata uang logam bersamaan, ada pada gambar di bawah ini;

Jumlah kejadian/sampel = 8.

Dimana 4 diantaranya adalah kejadian dimana sisi muka muncul lebih dari satu, yakni: MMM, MMB, MBM, BMM.

Peluang munculnya sisi muka lebih dari satu adalah

P = n(A)/n(S)

P = 4/8 = 1/2.

Jadi, frekuensi harapannya adalah

= n.P = 64. 1/2 = 32.

MATEMATIKA BIOLOGI

15. Seorang pria dengan genotipe Bb menderita Brakhidaktili (berjari pendek-gemuk) kawin dengan seorang wanita Bb yang juga Brakhidaktili. Kejadian Brakhidaktili terjadi jika dalam keadaan Heterozigot (Bb). Kemungkinan anak laki-lakinya normal adalah

Jika anaknya dalam keadaan homozigot dominan (BB) maka bersifat letal atau mati.

Anak akan normal jika dalam keadaan homozigot resesif (bb).

Penyelesaian:

Diagram Persilangannya.

P = Bb (pria) >< Bb (wanita)

G = B, b >< B, b

F = 1 BB = letal mati.

2 Bb = Brakhidaktili

1 bb = normal

Kemungkinan anaknya normal adalah 1/4 atau 25%.

Tiap kejadian kelahiran, anaknya kalau bukan laki-laki ya perempuan. Jadi, peluang lahirnya anak laki-laki adalah 1/2 atau 50%.

Jadi, peluang lahirnya anak dari sepasang suami istri itu yang normal dan laki-laki adalah

P = 1/4 x 1/2 = 1/8

16. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara.

A. 70 B. 80 C. 120 D. 360 E. 720

PEMBAHASAN :

Karena tidak ada aturan atau pengurutan, maka kita menggunakan kombinasi atau kombinatorika.

10C3 = $Description: \frac{10!}{(10-3)!.3!}$

= $Description: \frac{7!.8.9.10}{7!.3!}$

= $Description: \frac{8.9.10}{3.2.1}$

= 4.3.10 = 120 cara

JAWABAN : C

Soal Ujian Nasional tahun 2005

17. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama adalah …

A. 1680 B. 1470 C. 1260 D. 1050 E. 840

PEMBAHASAN :

Seperti yang diketahui bahwa bilangan antara 2000 dan 6000 adalah bilangan yang terdiri dari 4 digit, berarti kita membuat table dengan 4 kolom.

Kolom pertama akan diisi oleh 2, 3, 4 dan 5 (karena digit awal tidak boleh lebih dari 6. Jadi kolom pertama ada 4 angka.

kolom kedua diisi dengan 7 angka (sebenarnya ada 8 angka tapi sudah dipake pada kolom pertama)

Kolom ketiga dan keempat diisi dengan 6 angka dan 4 angka.

INGAT : kata kunci dalam soal itu adalah ‘tidak ada angka yang sama’.

= 4 x 7 x 6 x 5

= 840

JAWABAN : E

Soal Ujian Nasional tahun 2004

18. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah …

A. 12 B. 36 C. 72 D. 96 E. 144

PEMBAHASAN :

Rute pergi :

Dari A ke B : 4 bus

Dari B ke C : 3 bus

Rute pulang :

Dari C ke B : 2 bus (kasusnya sama seperti soal sebelumnya)

Dari B ke A : 3 bus (kasusnya sama seperti soal sebelumnya)

Jadi banyak caranya adalah : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 cara

JAWABAN : C

Soal Ujian Nasional tahun 2002

19.Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah …

A. 336 B. 168 C. 56 D. 28 E. 16

PEMBAHASAN :

8C3 = $Description: \frac{8!}{(8-3)!.3!}$

= $Description: \frac{5!.6.7.8}{5!.3!}$

= $Description: \frac{6.7.8}{3.2.1}$

= 7.8 = 56 cara

JAWABAN : C

20. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah …

A. 39/40 B. 9/13 C. ½ D. 9/20 E. 9/40

PEMBAHASAN :

Kantong I :

Peluang terambilnya kelereng putih = 3/8

Kantong II :

Peluang terambilnya kelereng hitam = 6/10

Jadi, peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah 3/8 x 6/10 = 18/80 = 9/40

JAWABAN : E

21. A,B,C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah …

A. 1/12 B. 1/6 C. 1/3 D. ½ E. 2/3

PEMBAHASAN :

Pola yang mungkin terjadi yaitu : AB C D atau BA CD.

Pola AB C D ini akan terjadi dengan beberapa susunan, yaitu
3P3 = $Description: \frac{3!}{(3-3)!}$

= 3.2.1 = 6

Pola BA C D ini akan terjadi dengan beberapa susunan, yaitu
3P3 = $Description: \frac{3!}{(3-3)!}$

= 3.2.1 = 6

Untuk keseluruhannya, pola A B C D akan terjadi dengan beberapa susunan, yaitu :

4P4 = $Description: \frac{4!}{(4-4)!}$

= 4.3.2.1 = 24

Jadi peluang A dan B berdampingan adalah :

P(A) = $Description: \frac{n(A)}{S}$

= $Description: \frac{6 + 6}{24}$

= 1/2

JAWABAN : D

22. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah …

A. 1/10 B. 5/36 C. 1/6 D. 2/11 E. 4/11

PEMBAHASAN :

Cara mengambil 2 bola merah :

5C2 = $Description: \frac{5!}{(5-2)!.2!}$

= $Description: \frac{3!.4.5}{3!.2!}$

= $Description: \frac{4.5}{2.1}$

= 4.5 = 10 cara

Cara mengambil 1 bola biru :

4C1 = $Description: \frac{4!}{(4-1)!.1!}$

= $Description: \frac{3!.4}{3!.1!}$

= 4 cara

Pengambilan bola sekaligus :

12C3 = $Description: \frac{12!}{(12-3)!.3!}$

= $Description: \frac{9!.10.11.12}{9!.3!}$

= $Description: \frac{10.11.12}{3.2.1}$

= 10.11.2 = 220 cara

Peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru :

P = $Description: \frac{_5C_2 \cdot _4C_1}{_{12}C_3}$

= $Description: \frac{10.4}{220}$

= 2/11

JAWABAN : D

23. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki – laki adalah …

A. 1/8 B. 1/3 C. 3/8 D. ½ E. 3/4

PEMBAHASAN :

misal : perempuan = P , laki-laki = L

Kemungkinan anak yang terlahir dalam suatu keluarga : LLL, LLP, LPP, PPP, PPL, PLL, PLP, LPL.

Jadi peluangnya adalah

P(A) = $Description: \frac{4}{8}$ = 1/2

JAWABAN : D

Dua buah dadu dilempar bersama – sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah …

A. 5/36 B. 7/36 C. 8/36D. 9/36 E. 11/36

PEMBAHASAN :

S = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)(4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4)(5, 5)(5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3)(6, 4) (6, 5) (6, 6)}

Dua mata dadu berjumlah 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)

Dua mata dadu berjumlah 10 : (4,6) (5,5) (6,4)

P(A) = $Description: \frac{4+3}{36}$ = 7/36

JAWABAN : B

24. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yag lain berisi uang logam 3 keping lima ratusan dan 1 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah …

A. 3/56 B. 6/28 C. 15/28 D. 29/56 E. 30/56

PEMBAHASAN :

Kemungkinan yang terjadi adalah pengambilan sebuah logam ratusan di dompet I atau sebuah logam ratusan di dompet II :

Dompet I : peluang mendapatkan logam ratusan adalah

P(A) = 2/7

Dompet II : peluang mendapatkan logam ratusan adalah

P(A) = 3/4

P(A) Dompet I + P(A) Dompet II

= 2/7 + 1/4

= 8/28 + 7/28

= 15/28

JAWABAN : C

25. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus fisika adalah 0,2. Banyaknya siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah … orang.

A. 6 B. 7 C. 14 D. 24 E. 32

PEMBAHASAN :

Lulus tes matemtika = 0,4 x 40 = 16

Lulus tes fisika = 0,2 x 40 = 8

Banyaknya siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah 16 + 8 = 24

JAWABAN : D

26. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing – masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah …

A. 1/10 B. 3/28 C. 4/15 D. 3/8 E. 57/110

PEMBAHASAN :

Peluang 2 bola merah pada Kotak I :

P(A) = $Description: \frac{_3C_2}{_5C_2}$

= $Description: \frac{\frac{3!}{(3-2)!.2!}}{\frac{5!}{(5-2)!.2!}}$

= $Description: \frac{\frac{2!.3}{1!.2!}}{\frac{3!.4.5}{3!.2!}}$

= $Description: \frac{3}{10}$

Peluang 2 bola biru pada Kotak I :

P(A) = $Description: \frac{_5C_2}{_8C_2}$

= $Description: \frac{\frac{5!}{(5-2)!.2!}}{\frac{8!}{(8-2)!.2!}}$

= $Description: \frac{\frac{3!.4.5}{3!.2!}}{\frac{6!.7.8}{6!.2!}}$

= $Description: \frac{10}{28}$

Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah

= 3/10 x 10/28

= 3/28

JAWABAN : B

27. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa. 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah …

A. 25/40 B. 12/40 C. 9/40 D. 4/40 E. 3/40

PEMBAHASAN :

Semesta = 40

Yang hanya suka matematika saja = 25 – 9 = 16

Yang hanya suka IPA saja = 21 – 9 = 12

Semesta = matematika saja + IPA saja + kedua-duanya + tidak kedua+duanya

40 = 16 + 12 + 9 + tidak kedua-duanya

40 = 37 + tidak kedua-duanya

3 = tidak kedua-duanya

Jadi peluang seorang tidak gemar kedua-duanya adalah 3/40

JAWABAN : E

28. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap adalah…

A.7 B.10 C.21 D.35 E. 210

Jawab:

soal di atas adalah urutan yang diperhatikan karena dari ke 7 calon tersebut dapat menduduki ke 3 posisi yang berbeda, sehingga digunakan permutasi.

29.Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101. Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ?

Pembahasan.
n(S) = 100
A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat
= {4,9,16,25,36,49,64,81,100}
n(A)= 9

Sehingga p(A) = n(A)/n(S)= 9/100

30. 17 Kartu diberi nomor 1,2,3,….16,17. dimasukkan dalam sebuah kotak. Sebuah kartu diambil dari kotak secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor yang habis dibagi 2 dan 3.

Pembahasan

n(S) = 17

diantara Bilangan 1 sampai dengan 17 yang merupakan bilangan habis dibagi 2 dan 3 adalah 6 dan 12
sehingga n(A) = 2
JAdi p(A) = n(A)/n(S) = 2 / 17

31 .Sebuah tas berisi 5 bola merah dan beberapa bola biru, sebuah bola diambil secara acak dari tas. Jika peluang terambil sebuah bola biru sama dengan dua kali peluang terambil sebuah bola merah. Berapa banyak bola biru yang terdapat dalam tas.

Pembahasan.

Misal jumlah bola biru yang ada di dalam tas adalah x, maka jumlah bola merah dan biru adalah 5 + x, sehingga n(S) = 5 + x
A = kejadian terambil 1 bola merah, maka n(A) =5

$Description: P(A) = \frac{5}{5+x}$

B = kejadian terambil 1 bola biru, sehingga n(B) = x

$Description: P(B) = \frac{x}{5+x}$ , karena P(B)= 2 P(A), maka kita peroleh:

$Description: \frac{x}{5+x} = 2.\frac{5}{5+x}$ .

$Description: \frac{x}{5+x} = \frac{10}{5+x}$ .

sehingga kita dapatkan x = 10. Jadi banyaknya bola biru yang ada di dalam tas ada 10 buah.

32.Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?

Jawab: Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh

Matematika Peluang

Minggu, 03 November 2013

Matematika Peluang

2 komentar: